Question

【題目】設，已知函數與函數有交點，且交點橫坐標之和不大于，求的取值范圍_________。

Answer 1

【答案】.

【解析】

將原問題進行等價轉化，然后結合函數的解析式分類討論即可確定的取值范圍.

原問題等價于:設,已知函數,且所有零點之和不大于,求的取值范圍.分類討論:

(1)a<0時,當x≤0時,,,故在上單調遞減,

又,所以在上有一個零點,

當時,,其對稱軸為,

則在上單調遞增,

又,,

則在上有一個零點,

,所以符合題意.

(2)當時,

①時,當時,,

所以在上單調遞減,

,所以在上沒有零點,

當時,,.

則在上沒有零點,不符合題意;

②時,當時,,

令可得,

又時,單調遞減;

時,單調遞增,

又,

則在上有極小值,

所以在上沒有零點,

當時,,,

則在上沒有零點,不符合題意;

③時,.

當時,,令得,

又時,單調遞減;

時,單調遞增,

則在上有極小值,

則在上沒有零點,

在上有一個零點為,滿足題意;

④a>4時,

當時,,令可得,

又時,單調遞減;

時,單調遞增,

且,

則在上有極小值,

則在上沒有零點,

時,,其對稱軸,

,且,

根據韋達定理可判斷在上有兩個零點,且兩根之和為,所以時符合題意.

綜上,的取值范圍為.