Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（Ⅰ）求點C到平面PBD的距離．
（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，若存在，指出點Q的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

，底面ABCD是矩形，我們易求出棱錐V_P-BCD的體積，再根據V_P-BCD=V_C-PBD，我們只要求出△PBD的面積，然后代入棱錐體積公式，即可求出點C到平面PBD的距離．
（II）以A為原點，分別以AB，AD，AP為X，Y，Z軸的正方向建立空間坐標系，則我們易給出各個點的坐標，進而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量，然后根據CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夾角的余弦值等于CQ與平面PBD所成的角的正弦值，構造方程，即可求出Q的坐標．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2，ABCD為正方形，因此BD⊥AC．（1分）
∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=2

2

（2分）
設C到面PBD的距離為d，由V_P-BCD=V_C-PBD，
有

1

3

•S△BCD•PA=

1

3

•S△PBD•d，
即

1

3

×

1

2

×2×2×2=

1

3

•

1

2

(2

2

)2•sin600•d，（4分）
得d=

2

3

3

（5分）

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系
因為Q在DP上，所以可設

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，（6分）
又∵

DP

=(0，-2，2)，

AQ

=

AD

+

DQ

=

AD

+λ

DP

=(0，2，0)+(0，-2λ，2λ)=(0，2-2λ，2λ)
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴

CQ

=(-2，-2λ，2λ)=2(-1，-λ，λ)．（8分）
易求平面PBD的法向量為

n

=(1，1，1)，（10分）
所以設CQ與平面PBD所成的角為θ，則有：sinθ=|cos?

CQ

，

n

＞|=

| CQ • n |

| CQ || n |

=

1

3 1+2λ2

（12分）
所以有

1

3 1+2λ2

=

2

9

6

，λ2=

1

16

，∵0＜λ＜1，∴λ=

1

4

（13分）
所以存在且|DQ|=

1

4

|DP|（14分）

點評：本題考查的知識點是空間點、線、面的距離計算，及直線與平面所成的解，（I）中利用V_P-BCD=V_C-PBD，是解答的關鍵，（II）中求出直線與平面的方向向量和平面的法向量，將線面夾角的正弦值，轉化為兩個向量的余弦是解答的關鍵．