Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（1）求數列{b_n}的通項b_n；

（2）設數列{a_n}的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0，且a≠1)，記S_n是數列{a_n}的前n項和.試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解析：（1）設數列{b_n}的公差為d，由題意得

∴b_n=3n-2.

（2）由b_n=3n-2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)=log_a［(1+1)(1+)(1+)…(1+)］,log_ab_n+1

=log_a.

因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小.

取n=1,有（1+1）＞

取n=2，有（1+1）（1+）＞，

……

由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞.                              ①

若①式成立，則由對數函數性質可斷定：

當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1;

當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1.

下面用數學歸納法證明①式.

(ⅰ)當n=1時，已驗證①式成立.

（ⅱ）假設當n=k(k≥1)時，①式成立，

即（1+1）（1+）…（1+）＞.

那么，當n=k+1時，

（1+1）（1+）…（1+）·［1+］＞(1+)=(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=

=＞0，

∴(3k+2)＞

=.

因而(1+1)(1+)…（1+）(1+)這就是說①式當n=k+1時也成立.

由（ⅰ）（ⅱ）知，①式對任何自然數n都成立.由此證得：

當a＞1時，S_n＞log_ab_n+1

當0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1.