Question

【題目】已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求數列{an}通項公式；
（2）{bn} 為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求數列 的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：記正項等比數列{an}的公比為q，

因為a1+a2=6，a1a2=a3，

所以（1+q）a1=6，q =q2a1，

解得：a1=q=2，

所以an=2n；

（2）

因為{bn} 為各項非零的等差數列，

所以S2n+1=（2n+1）bn+1，

又因為S2n+1=bnbn+1，

所以bn=2n+1， = ，

所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，

Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，

兩式相減得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）

=5﹣ ．

【解析】（1）通過首項和公比，聯立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，進而利用等比數列的通項公式可得結論；（2）利用等差數列的性質可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 結合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，進而可知 = ，利用錯位相減法計算即得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．