Question

某車間有200名工人，要完成6000件產品的生產任務，每件產品由3個A型零件和1個B型零件配套組成．每個工人每小時能加工5個A型零件或者1個B型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作（分組后人數不再進行調整），每組加工同一種型號的零件．設加工A型零件的工人人數為x名（x∈N^*）．
（1）設完成A型零件加工所需時間為f（x）小時，完成B型零件加工所需時間為g（x）小時，寫出f（x），g（x）的解析式；
（2）當A、B兩種零件全部加工完成，就算完成工作．全部完成工作所需時間為H（x）小時，寫出H（x）的解析式；
（3）為了在最短時間內完成工作，x應取何值？

Answer 1

分析：（1）根據題意．6000件產品生產任務中由3個A型零件，總數為6000×3，加工A型零件的工人每小時加工零件數為5x，二者相除即可求得f（x）的解析式；6000件產品生產任務中由1個B型零件，總數為6000，加工B型零件的工人每小時加工零件數為200-x，二者相除即可求得g（x）的解析式．
（2）令f（x）-g（x）＞0，解可得x的范圍，進而可推斷當0＜x＜75時，H（x）即是生產A零件的時間，當75≤x＜200時，
H（x）即為生產B零件所用的時間．
（3）問題實際是求函數H（x）的最小值，先看0＜x＜75時f（x）的最小值為

3600

75

，當75≤x＜200時g（x）的最小值為

6000

200-75

，可知當x=75時，H（x）有最小值．

解答：解：（1）f(x)=

6000×3

5x

=

3600

x

(0＜x＜200，x∈N*)，g(x)=

6000

200-x

(0＜x＜200，x∈N*)．
（2）令

3600

x

-

6000

200-x

=

9600(75-x)

x(200-x)

＞0，得0＜x＜75
故H(x)=

3600 x        0＜x＜75 6000 200-x       75≤x＜200

x∈N*
（3）即求函數H（x）的最小值；
當0＜x＜75時，

3600

x

＞

3600

75

=48，
當75≤x＜200時，

6000

200-x

≥

6000

200-75

=48，
故當x=75時H（x）的最小值為48．
綜上，為了在最短時間內完成工作，x應取75．

點評：本題主要考查了根據實際問題選擇函數類型的問題．解題的關鍵是根據題意求得函數的解析式．