Question

記滿足如下3個性質的函數為“Ⅰ型函數”：
①對任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）•g（b）；
②對任意x∈R，g（x）＞0；
③對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）若函數y=g（x）為“Ⅰ型函數”，求g（x）•g（-x）的值；
（2）若函數y=g（x）為“Ⅰ型函數”，證明：當x＜0時，g（x）＜1，且函數y=g（x）在R上是增函數；
（3）若函數y=g（x）為“Ⅰ型函數”，且關于x的方程g（|2^x|-1）•g（3-a）=1有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,新定義,函數的性質及應用

分析：（1）依題意，令a=b=0，可求得g（0）=1，從而可得g（x）•g（-x）=g[（x+（-x））]=g（0）=1；
（2）當x＜0時，-x＞0，g（-x）＞1，結合g（0）=1，易證得g（x）=

1

g(-x)

∈（0，1）；再利用單調遞增函數的定義，令x₁＜x₂，可證得g（x₁）＜g（x₂），從而使結論成立；
（3）由（2）知，函數y=g（x）在R上是增函數，又g（a+b）=g（a）•g（b），g（0）=1，故（|2^x|-1）+3-a=0有解，分離參數a，利用指數函數的單調性質，可求得實數a的取值范圍．

解答： （1）解：∵對任意a，b∈R，都有g（a+b）=g（a）•g（b），
∴令a=b=0得：g（0）=g²（0），又對任意x∈R，g（x）＞0，
∴g（0）=1，
∴g（x）•g（-x）=g[（x+（-x））]=g（0）=1；
（2）證明：∵函數y=g（x）為“Ⅰ型函數”，由（1）知g（x）•g（-x）=g（0）=1，又?x＞0，g（x）＞1，
∴當x＜0時，-x＞0，g（-x）＞1，
∴g（x）=

1

g(-x)

∈（0，1）；
令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，g（x₁-x₂）=g（x₁）g（-x₂）=

g(x1)

g(x2)

＜1，又對任意x∈R，g（x）＞0，
∴g（x₁）＜g（x₂），
∴函數y=g（x）在R上是增函數；
（3）∵函數y=g（x）為“Ⅰ型函數”，且關于x的方程g（|2^x|-1）•g（3-a）=1=g（0）有解，由（2）知函數y=g（x）在R上是增函數；
∴（|2^x|-1）+3-a=0有解，
∴a=|2^x|+2＞2，
∴實數a的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，理解新定義“Ⅰ型函數”是關鍵，考查函數的單調性的判定，考查等價轉化思想與綜合分析、運算能力，屬于難題．