Question

已知點F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，點O為坐標原點，圓O是以F₁，F₂為直徑的圓，一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A，B．
（1）設b=f（k），求f（k）的表達式；
（2）若，求直線l的方程；
（3）若，求三角形OAB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關系式；
（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯立求出A、B兩點的坐標與b和k之間的等式，再利用 以及（1）的結論求出b和k進而求得直線l的方程；
（3）用類似于（2）的方法求出之間的關系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關于m的函數；利用函數的單調性求出△AOB面積的取值范圍即可．
解答：解：∵c=1且直線與圓O相切∴∵b＞0，∴
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又
則．
由，∴k²=1，b²=2.，∴
直線l的方程為：y=±x+．
（3）由（2）知：，∴，∴，
由弦長公式得
解得∴．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，是對函數，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識點較多，是道難題．