Question

如圖，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的邊長都為a，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連接DE 
（1）計算DE的長；     
（2）求A點到平面OBC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AE，OE，由題設知OE=AE=

3

2

a，所以△OEA是等腰三角形．DE⊥AO，由此能求出DE的長．
（2）由AE⊥BC，OE⊥BC，知面ABC⊥面AOE．在面AOE中，作OF⊥AE，則OF⊥面ABC，所以，OF的長即為點O到面ABC的距離．由△AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE邊上的高，由面積公式得：

1

2

AO×DE=

1

2

AE×OF，由此能求出點O到平面ABC的距離．

解答：解：（1）連接AE，OE，因空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是a，
D，E是OA，BC的中點，所以，OE=AE=

3

2

a，
所以△是等腰三角形．
所以DE⊥AO，
因此，DE=

OE2-OD2

=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a．
（2）∵AE⊥BC，OE⊥BC，
∴BC⊥面AOE，∴面ABC⊥面AOE．
在面AOE中，作OF⊥AE，則OF⊥面ABC，
所以，OF的長即為點O到面ABC的距離．
∵△AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE邊上的高，
∴由面積公式得：

1

2

AO×DE=

1

2

AE×OF，
即

1

2

×a×

2

2

a=

1

2

×

3

2

× OFa，
解得．OF=

6

3

a，所以點O到平面ABC的距離是

6

3

a．

點評：本題考查點、線、面間的距離計算，解題時要認真審題，注意立體幾何性質的合理運用，恰當地把空間距離等價轉化為平面距離進行計算．