Question

已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)當時，判斷和的大小，并說明理由；
(3)求證：當時，關于的方程：在區間上總有兩個不同的解．

Answer 1

（1）的單調遞增區間為，，單調遞減區間為
（2）當時，．
（3）構造函數，然后借助于在區間、分別存在零點，又由二次函數的單調性可知最多在兩個零點，進而得到結論。

試題分析：（1）
當時可解得，或
當時可解得
所以函數的單調遞增區間為，，
單調遞減區間為                         3分
（2）當時，因為在單調遞增，所以
當時，因為在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當時，．
綜上可知：當時，．　                  7分
（3）即
考慮函數，
，，

所以在區間、分別存在零點，又由二次函數的單調性可知：最多存在兩個零點，所以關于的方程：在區間上總有兩個不同的解                                  10分
點評：考查了導數在研究函數中的運用，以及利用函數與方程的思想的綜合運用，屬于難度題。