Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若函數有兩個不同的零點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）恒成立，等價于時，；當時，，令，注意，對分類討論求出單調性即可求解；

（2）求，得到的單調區間，進而求出兩零點的范圍是，利用（1）的結論，，可得，再由在減函數，可得，得到，建立不等量關系，即可證明結論.

（1）由題意可得的定義域為，

恒成立，即恒成立，

當時，即；當時，即，

構造函數，

，

令，可知在單調遞減，在單調遞增，

當時，，則單調遞增，故滿足題意，

當時，，

方程有兩個不相等的正根，，

由于，所以，因此在單調遞增，

在單調遞減，單調遞增，

因此，，不滿足題意，

綜上：.

（2）由（1）可得，，

令，，

所以在單調遞增，在單調遞減，

所以，，

又，

，

所以在和各存在一個零點，由題設可知，

因此，則…①，

因為在單調遞減，因此，

即，

所以…②，

由①②可得：，

化簡可得.