Question

f（x）為偶函數且在（0，+∞）單調遞增，求方程f（2x）=f（

x+1

x+4

）的所有根之和．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：f（x）為偶函數推出f（-x）=f（x），x＞0時f（x）是單調函數，推出f（x）不是周期函數．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數的關系進行求解

解答： 解：∵f（x）為偶函數，
∴（2x）=f（-2x）
∵當x＞0時f（x）是單調函數，
又滿足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，兩個方程都有解．
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故方程的所有根之和為-8．

點評：本題主要函數奇偶性和單調性的性質，考查了函數的單調性和奇偶性與方程根的聯系，屬于函數性質的綜合應用．