Question

與正方體的三條棱所在直線的距離相等的點

A．有且只有1個；	B．有且只有2個；
C．有且只有3個；	D．有無數個。

Answer 1

D

解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標系，

并設該正方體的棱長為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點P，
因為 DB₁ =（1，1，1），
所以設P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足為E，再作EF⊥A₁D₁，垂足為F，
則PF是點P到直線A₁D₁的距離．
所以PF²= a²+(1-a)²；
同理點P到直線AB、CC₁的距離的平方也是 a²+(1-a)²．
所以B₁D上任一點與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離都相等，
所以與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點有無數個．
故選D．