Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求證：；
（2）試判斷直線DF與平面BCE的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）DF∥平面BCE．證明詳見試題解析．

試題分析：（1）證明線線垂直，可轉化為證明線面垂直．要證，只要證平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性質定理知，只要證．在等腰梯形ABCD中，由已知條件及平面幾何相關知識，易得；（2）首先給出結論DF∥平面BCE，再給出證明．要證線面平行，由利用判定定理可以轉化為證明線線平行，即只要在平面BCE找DF的平行線，或由面面平行的性質定理轉化為證明面面平行，即過DF找一個平面與平面BCE平行，而后一種方法容易實施．
試題解析：（1）證明：取AB中點H，連結CH．底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB，易證四邊形AHCD為平行四邊形，
∴AD=HC=AB，= ，    3分
平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．                              6分
（2）平面，以下證明：
取AC的中點M，連接DM，F(xiàn)M．在平面ABCD中，DM，BC⊥AC，故DM∥BC．      8分

在直角梯形ACEF中，，故FM∥EC．                     10分
而BC，CE平面BCE，BC∩CE=C，而DM，MF平面DMF，DM∩MF=M，故平面BCE∥平面DMF，DF平面DMF，從而，DF∥平面BCE．                        12分