Question

已知點F₁，F₂分別是橢圓為C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F₁（-c，0）作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂的垂線交直線x=

a2

c

于點Q，若直線PQ與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一條漸近線平行，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  3

• C．

  3

  2

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得P（-c，

b2

a

），由過點F₂作直線PF₂的垂線交直線x=

a2

c

于點Q，PF₂⊥QF₂，得Q（

a2

c

，2a），由直線PQ與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一條漸近線平行，知

2a- b2 a

a2 c +c

=

3

2

，由此能求出結果．

解答：解：將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
得y1=

b2

a

，
∴P（-c，

b2

a

），
∵過點F₂作直線PF₂的垂線交直線x=

a2

c

于點Q，PF₂⊥QF₂，
∴設Q（

a2

c

，y），得

b2 a

-2c

•

y

a2 c -c

=-1，解得y=2a，∴Q（

a2

c

，2a），
∵直線PQ與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一條漸近線平行，
∴

2a- b2 a

a2 c +c

=

3

2

，即4a-

2b2

a

=

3

c+

3 a2

c

，
整理，得2e³-

3

e2+2e-

3

=0，
解得e=

3

2

．
故選C．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數知識的運用，綜合性強．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．