Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，D，E分別是BC，AC的中點．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．

（1）求證：平面ABC⊥平面PED；
（2）求AC與平面PBC所成的角；
（3）求平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ，

∴AB2+BC2=AC2；

∴BC⊥AB；

D，E分別是BC，AC中點；

∴DE∥AB；

∴BC⊥DE；

又PB=PC，D是BC中點；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PED

（2）證明：解： PA= ，PC=2，AC=4，

∴由余弦定理cos∠PCA= ，

在△PCE中，PC=2，CE=2，

∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1；

∴△PDE為等邊三角形；

∴如圖，取PD中點F，連接EF，CF，則：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF平面PED；

∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；

∴EF⊥平面PBC；

∴∠ECF是直線AC和平面PBC所成角；

EF= ，CE=2；

∴sin∠ECF= = = ，

∴直線AC與平面PBC所成角為arcsin

（3）證明：以D為原點，分別以DC，DE為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

B（﹣ ，0，0），C（ ，0，0），E（0，1，0），A（﹣ ，2，0），

設P（0，y，z），則由PC=2，PA= ，

得 ，解得y= ，z= ，∴P（0， ），

設平面PAB的法向量 =（x1，y1，z1），

∵ =（0，2，0）， =（ ），

∴ ，取x11，得 =（1，0，﹣2），

平面PED的法向量為 =（1，0，0），

∴cos＜ ＞

= ，

∴平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值為

【解析】（1）根據AB，BC，AC邊的長度容易得到BC⊥AB，E，D都是中點，從而DE∥AB，這便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D為BC邊中點，從而便得到BC⊥PD，從而由線面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；（2）取PD中點F，連接EF，CF，則∠ECF是直線AC和平面PBC所成角，由此能求出直線AC與平面PBC所成角．（3）以D為原點，分別以DC，DE為x，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．