Question

設函數f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（1）若函數f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）求函數y=f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）把f（x）表示出來并化簡，由f（x）=1-

3

及x的范圍可求x值；
（2）由正弦函數的單調性及復合函數單調性的判斷方法可求其單調增區間．

解答：解：（1）依題設得f（x）=2cos2x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1．
由2sin（2x+

π

6

）+1=1-

3

，得sin（2x+

π

6

）=-

3

2

．
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
得函數單調區間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查平面向量的數量積運算及正弦函數的單調性問題，屬基礎題，要重視相關的基礎知識基本方法的掌握．