Question

設函數f（x）=cos²x-

3

2

sin2x，若α∈（

π

4

，

π

2

）且滿足f（α）=

1

2

-

3

2

，求tan2α的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,二倍角的正切

專題：三角函數的求值

分析：利用二倍角的余弦與三角恒等變換可得f（x）=cos（2x+

π

3

）+

1

2

，依題意，可得cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），于是可求得2α=

5π

6

，從而可得答案．

解答： 解：∵f（x）=cos²x-

3

2

sin2x=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）+

1

2

，
∴f（α）=cos（2α+

π

3

）+

1

2

=

1

2

-

3

2

，
∴cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，
又α∈（

π

4

，

π

2

），2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），
∴2α+

π

3

=

7π

6

，
∴2α=

5π

6

，
∴tan2α=-

3

3

．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查余弦函數的圖象與性質，求得cos（2α+

π

3

）=-

3

2

與2α+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

）是關鍵，屬于中檔題．