Question

設F為圓錐曲線的焦點，P是圓錐曲線上任意一點，則定義PF為圓錐曲線的焦半徑．下列幾個命題
①平面內與兩個定點F₁，F₂的距離之和為常數的點的軌跡是橢圓
②平面內與兩個定點F₁，F₂的距離之差的絕對值為常數的點的軌跡是雙曲線
③平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線
④以橢圓的焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓相切
⑤以拋物線的焦半徑為直徑的圓和y軸相切
⑥以雙曲線的焦半徑為直徑的圓和以實軸為直徑的圓相切
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：圓錐曲線的實際背景及作用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用橢圓，雙曲線、拋物線的定義，即可得出結論．

解答： 解：①平面內與兩定點距離之和為常數的點的軌跡是橢圓，如果距離之和對于零點的距離，軌跡表示的是線段，不表示橢圓，所以①不正確；
②平面內與兩定點距離之差絕對值為常數的點的軌跡是雙曲線，這個常數必須小于兩點的距離，此時是雙曲線，否則不正確，所以②不正確；
③當定點位于定直線時，此時的點到軌跡為垂直于直線且以定點為垂足的直線，只有當點不在直線時，軌跡才是拋物線，所以③錯誤；
④設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F、F'分別是橢圓的左右焦點，
作出以線段PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．
設PF中點為M，連結PF′，
∴OM是△PFF′的中位線，可得|OM|=|PF′|，即兩圓的圓心距為

1

2

|PF′|
根據橢圓定義，可得|PF|+|PF′|=2a，
∴圓心距|OM|=

1

2

|PF′|=

1

2

（2a-|PF|）=a-

1

2

|PF|，
即兩圓的圓心距等于它們半徑之差，
因此，以PF為直徑的圓與以長半軸為直徑的圓x²+y²=a²相內切．即④正確；
⑤拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的坐標為（

p

2

，0），設點P點坐標為（x₁，y₁），
則以PF為直徑的圓的圓心是（

2x1+p

4

，

y1

2

），
根據拋物線的定義|PF|與P到直線x=-

p

2

是等距離的，
所以PF為直徑的圓的半徑為

2x1+p

4

，因此以PF為直徑的圓與y軸的位置關系相切，即⑤正確；
⑥設以實軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=

|PF2|

2

，
當P在雙曲線左支上時，|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF2|

2

-

|PF1|

2

=a=r₁，∴兩圓內切．
當P在雙曲線右支上時，|O₁O₂|=

|PF1|

2

，
∵|O₁O₂|-r₂=

|PF1|

2

-

|PF2|

2

=a=r₁，∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴兩圓外切．故⑥正確
故答案為：④⑤⑥．

點評：本題考查命題的真假的判斷與應用，圓錐曲線的定義的應用，基本知識的考查．