Question

（2012•青島二模）一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如表所示（單位：輛），若按A，B，C三類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，則A類轎車有10輛．
（Ⅰ）求z的值；

	轎車A	轎車B	轎車C
舒適型	100	150	z
標準型	300	450	600

（Ⅱ）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個分數a．記這8輛轎車的得分的平均數為

.

x

，定義事件E={|a-

.

x

|≤0.5，且函數f（x）=ax²-ax+2.31沒有零點}，求事件E發生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設該廠本月生產轎車為n輛，由題意得：

50

n

=

10

100+300

，求得n=2000，可得 z的值．
（Ⅱ） 求出8輛轎車的得分的平均數為

.

x

，由|a-

.

x

|≤0.5，且函數f（x）=ax²-ax+2.31沒有零點 可得

|a-9|≤0.5 △=a2-9.24a＜0

，由此解得a的范圍，求得E發生當且僅當a的值，從而求出事件E發生的概率．

解答：解：（Ⅰ）設該廠本月生產轎車為n輛，由題意得：

50

n

=

10

100+300

，所以n=2000，∴z=2000-100-300-150-450-600=400．    …（4分）
（Ⅱ）  8輛轎車的得分的平均數為

.

x

=

1

8

（ 9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（6分）
把8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個分數a對應的基本事件的總數為8個，
由|a-

.

x

|≤0.5，且函數f（x）=ax²-ax+2.31沒有零點 可得

|a-9|≤0.5 △=a2-9.24a＜0

，解得 8.5≤a＜9.24． …（10分）
∴E發生當且僅當a的值為：8.6，9.2，8.7，9.0共4個，∴p(E)=

4

8

=

1

2

． …（12分）

點評：本題主要考查用列舉法計算基本事件數以及事件發生的概率，分層抽樣的定義和方法，屬于基礎題．