Question

【題目】已知函數(shù)發(fā)f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．
（1）當(dāng)a=1時，求在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證： ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+ ，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1處的切線方程為：y=x﹣1

（2）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，（x＞0）．

（i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時，

即a≥lnx+ 時，令g（x）=lnx+ ，

當(dāng)x＞ea時，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，a≤lnx+ ；

令g（x）=lnx+ ，

則g′（x）= ，x＞0；

則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

所以g（x）≥2，故a≤2

（3）證明：由（ii）得當(dāng)a=2時f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞ 在（1，+∞）上總成立，

令x= 得ln ＞ ，

化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，

所以ln2﹣ln1＞ ，

ln3﹣ln2＞ ，…，

ln（n+1）﹣lnn＞ ，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞ ，

即 ln（n+1），n∈N*命題得證

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論函數(shù)遞減和函數(shù)遞增，從而求出a的范圍即可；（3）令a=2，得：lnx＞ 在（1，+∞）上總成立，令x= ，得ln ＞ ，化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，對x取值，累加即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．