Question

已知橢圓的上、下焦點分別為N、M，若動點滿足

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）直線,設傾斜角為的直線過點，交軌跡于兩點 ，交直線于點.若，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）|AR|·|BR|的最小值為.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設,則，，………2分

所以                           ………4分

                                                ………6分

(Ⅱ)設直線l₂的方程為，與拋物線方程聯立消去y得x²-4kx-4=0．

記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則.          ………8分

因為直線PA的斜率k≠O，易得點R的坐標為 .       ………9分

|AR|·|BR|=|x₁-x_R|·|x₂-x_R|

=(1+k²)·(x₁+)(x₂+)=(1+k²) x₁ x₂+(+2 k)( x₁+x₂)+ +4

= -4(1+k²)+4k(+2k)+ +4=4(k²+)+8，       ………………………13分

又α∈（0，],k∈（0，],在（0，]遞減

從而|AR|·|BR|的最小值為.          ………15分

考點：拋物線，直線與拋物線

點評：本試題主要是考查了拋物線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關系的運用，對于坐標的表示和運用，是解題的關鍵，屬于中檔題。