Question

已知橢圓的上、下焦點分別為F₂和F₁，點A（1，-3），
（1）在橢圓上有一點M，使|F₂M|+|MA|的值最小，求最小值；
（2）當|F₂M|+|MA|取最小值時，求三角形AMF₂的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義表示出|MF₁|+|MF₂|，利用三點共線求出|F₂M|+|MA|的最小值，以及取得最小值時的條件；
（2）當|F₂M|+|MA|取最小值時，此時M、A、F₁共線．結合橢圓的定義及兩點間的距離公式，從而三角形AMF₂的周長．
解答：解：（1）如圖，橢圓的a=5，b=3，c=4．F₂（0，4），F₂（0，4），
|AF₁|=，M是橢圓上任一點，由|MF₁|+|MF₂|=2a=10，
∴|F₂M|+|MA|≥2a-|MF₁|+|MA|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|≥10-，
等號僅當|MF₁|-|MA|=|AF₁|時成立，此時M、A、F₁共線．
∴|F₂M|+|MA|的值最小值為10-，
（2）當|F₂M|+|MA|取最小值時，此時M、A、F₁共線．
三角形AMF₂的周長：
l=|MF₂|+|MA|+|AF₂|=|MF₂|+|MF₁|-|MA|+|AF₂|
=10-+5=10-4．
點評：本題考查橢圓的定義及定義的應用，表達式的幾何意義的應用，考查轉化思想與計算能力．