Question

【題目】已知函數

（1）若，且在上單調遞增，求實數的取值范圍

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）求導，將函數的單調性轉化為導函數非負恒成立進行求解；（2）先假設存在這樣的實數，則在時恒成立，求導，通過導函數的符號變換討論函數的單調性，再合理構造函數進行求解.

試題解析：（1）

由已知在時恒成立，即恒成立

分離參數得，

因為

所以

所以正實數的取值范圍為：

（2）假設存在這樣的實數，則在時恒成立，且可以取到等號

故，即

從而這樣的實數必須為正實數，當時，由上面的討論知在上遞增，，此時不合題意，故這樣的必須滿足，此時：

令得的增區間為

令得的減區間為

故

整理得

即，設，

則上式即為，構造，則等價于

由于為增函數，為減函數，故為增函數

觀察知，故等價于，與之對應的

綜上符合條件的實數是存在的，且