Question

已知a＞0，函數f（x）=

x2

2

+2a（a+1）1nx-（3a+1）x．
（1）若函數f（x）在x=l處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，求出切線的斜率，由兩直線平行的條件可得方程，解出即可；
（2）求出導數并分解因式，對a討論，分a=1，a＞1，0＜a＜1，解大于0的不等式，即可得到增區間．

解答： 解：（1）函數f（x）的導數f′（x）=x+

2a(a+1)

x

-（3a+1），
則函數f（x）在x=l處的切線斜率為1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a，
由于切線與直線y-3x=0平行，則2a²-a=3，解得，a=

3

2

（-1舍去）；
（2）由于f′（x）=x+

2a(a+1)

x

-（3a+1）=

(x-2a)(x-a-1)

x

（x＞0，a＞0），
當a=1時，f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，f（x）遞增；
當a＞1時，2a＞a+1，f′（x）＞0，解得，x＞2a，或0＜x＜a+1，f（x）遞增；
當0＜a＜1時，2a＜a+1，f′（x）＞0，解得，x＞a+1，或0＜x＜2a，f（x）遞增．
則a=1，f（x）的增區間為（0，+∞）；
a＞1，f（x）的增區間為：（2a，+∞），（0，a+1）；
0＜a＜1時，f（x）的增區間為：（1+a，+∞），（0，2a）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區間，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．