Question

曲線y²-x-2y=0在二階矩陣M=

1 a b 1

的作用下變換為曲線y²=x；
（i）求實數a，b的值；
（ii）求M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換,逆矩陣與二元一次方程組

專題：矩陣和變換

分析：（1）利用矩陣變換可得

x′=x+ay y′=bx+y

，代入新曲線y²=x，即可求得實數a，b的值；
（2）利用|M|=1及逆矩陣公式即可求得M的逆矩陣M^-1．

解答： （本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
解：（1）由

1 a b 1

x y

=

x′ y′

得：

x′=x+ay y′=bx+y

，
代入新曲線y²=x，得（bx+y）²=x+ay，即y²+2bxy+b²x²-x-ay=0
解得a=2，b=0，M=

1 2 0 1

…（4分）
（2）由（1）知M=

1 2 0 1

，|M|=1×1-0×2=1，其伴隨矩陣M^*=

1 -2 0  1

（主對角線對換，副對角線符號相反），
由M^-1=

M*

|M|

得：M-1=

1 -2 0  1

…（7分）

點評：本題考查矩陣變換及逆矩陣公式的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．