Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓過M（1，

4 2

3

），N（-

3 2

2

，

2

）兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存在點P（x，y）到定點A（a，0）（其中0＜a＜3）的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及點P的坐標；若不存在，請給予證明．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由橢圓過M，N兩點得

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

，求出m，n后就得到橢圓的方程．
（2）設存在點P（x，y）滿足題設條件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

），結合題設條件能夠推導出|AP|²=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及點P的坐標．

解答：解：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵橢圓過M，N兩點
∴

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

?

m= 1 9 n= 1 4

，即橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設存在點P（x，y）滿足題設條件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-

x2

9

）=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
當|

9a

5

|≤3即0＜a≤

5

3

時，|AP|²的最小值為4-

4

5

a²
∴4-

4

5

a²=1?a=±

15

2

∉（0，

5

3

]
∴

9

5

a＞3即

5

3

＜a＜3，此時當x=3時，|AP|²的最小值為（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此時點P的坐標是（3，0）
故當a=2時，存在這樣的點P滿足條件，P點的坐標是（3，0）．

點評：本題綜合考查橢圓的直線的位置關系，在解題時要注意培養計算能力和靈活運用公式的能力．