Question

已知函數(shù)f（x）是正比例函數(shù)，函數(shù)g（x）是反比例函數(shù)，且f（1）=1，g（1）=2．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）；
（2）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性．
（3）求函數(shù)f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，利用f（1）=1，g（1）=2，即可求得結(jié)論；
（2）先確定函數(shù)的定義域，再驗(yàn)證h（-x）與h（x）的關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（3）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在（0，

2

]上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)在（0，

2

]上的最小值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=k₁x，g（x）=

k2

x

，其中k₁k₂≠0
則∵f（1）=1，g（1）=2，
∴k₁×1=1，

k2

1

=2
∴k₁=1，k₂=2
∴f（x）=x，g（x）=

2

x

；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），則h（x）=x+

2

x

∴函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）…（9分）
因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有h（-x）=-（x+

2

x

）=-h（x）
∴函數(shù)h（x）是奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）+g（x）是奇函數(shù)；
（3）由（2）知h（x）=x+

2

x

，則h′(x)=1-

2

x2

當(dāng)x∈（0，

2

]時(shí)，h′（x）≤0，
∴函數(shù)h（x）在（0，

2

]上單調(diào)遞減
∴x=

2

時(shí)，h（x）取得最小值為2

2

即函數(shù)f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值是2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．