Question

【題目】求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）值域，增區(qū)間，減區(qū)間；（2）值域，減區(qū)間，增區(qū)間.

【解析】

（1）令，求得的取值范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的值域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）設(shè)，可得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得原函數(shù)的值域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，則，

又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，且，.

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

同理，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，而指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，則.

，

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，此時(shí)由得.

而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

同理，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，此時(shí)由得.

而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.