Question

【題目】在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色，先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第1000個(gè)數(shù)是_________

Answer 1

【答案】1968

【解析】

記第次染色的最后一個(gè)數(shù)字為，由題可得，第次染色共染了個(gè)數(shù)字，且第次染色的最后一個(gè)數(shù)字為，求出前次染色數(shù)字的個(gè)數(shù)之和為：，即可判斷第1000個(gè)數(shù)在第次染色的數(shù)字中，求得第次染色的最后一個(gè)數(shù)字為：，所以第1000個(gè)數(shù)是第次染色中的第個(gè)數(shù)偶數(shù)，問題得解。

記第一次染色：染1；共1個(gè)數(shù)，且所染數(shù)字都是奇數(shù)。

第二次染色：染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；共3個(gè)數(shù)，且所染數(shù)字都是偶數(shù)。

第三次染色：染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；共5個(gè)數(shù)，，且所染數(shù)字都是奇數(shù)。

第四次染色：染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；共7個(gè)數(shù)，且所染數(shù)字都是偶數(shù)。

則第次染色：共個(gè)數(shù)字，，且所染數(shù)字與的奇偶性相同。

每次染數(shù)的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，

前次染色數(shù)字的個(gè)數(shù)之和為：

令，則

所以第1000個(gè)數(shù)字在第次染色的數(shù)字中

記第次染色的最后一個(gè)數(shù)字為，由題可得：，，，，……，依次類推

所以第次染色的最后一個(gè)數(shù)字為：，且前次染色數(shù)字的個(gè)數(shù)之和為：，

所以第1000個(gè)數(shù)在第次染色中的第位數(shù)字，

即從之后的第個(gè)偶數(shù)，

所以由1開始的第1000個(gè)數(shù)是：