Question

求下列函數的解析式：
（1）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x+1）；
（2）設f（x）滿足f（x）-2f（

1

x

）=x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）利用換元法令t=

x

+1，求出f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，令x+1=t，得f（x+1）
（2）把x換成

1

x

，得f(

1

x

)-2f(x)=

1

x

，與f(x)-2f(

1

x

)=x聯立方程組，解得f（x）．

解答：解：（1）令t=

x

+1，則t≥1，x=（t-1）²
∵f(

x

+1)=x+2

x

∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1
∴f（x）=x²-1（x≥1）
∴f（x+1）=（x+）²-1=x²+2x（x≥0）
（2）∵f(x)-2f(

1

x

)=x    ①
顯然x≠0
∴把x換成

1

x

，得：f(

1

x

)-2f(x)=

1

x

    ②
解①②聯立的方程組，得
f(x)=-

x

3

-

2

3x

點評：本題主要考查了函數的解析式及常見的求法，用到了換元的方法和方程的思想．