Question

求下列函數的解析式：
（1）已知f（x）是二次函數，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1．求f（x）．
（2）設f（x）滿足f(x)-2f(

1

x

)=x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是二次函數，設出函數表達式，根據f（0）=0求得c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1，代入函數表達式后整理，由系數相等求解a，b的值，則解析式可求；
（2）在給出的等式中，以

1

x

替換x，得到關于f（x）和f(

1

x

)的二元方程組，利用加減消元法求得f（x）．

解答：解（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0，得c=0，
由f（x+1）=f（x）+x+1，得：a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
整理得：ax²+（2a+b）x+a+b+c=ax²+（b+c）x+c+1．
所以

2a+b=b+c a+b+c=c+1 c=0

，解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=0

．
所以f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
（2）由f(x)-2f(

1

x

)=x①
知x≠0，取x=

1

x

，得f(

1

x

)-2f(x)=

1

x

②
①+2×②得：f(x)=-

1

3

x-

2

3x

．
所以f(x)=-

1

3

x-

2

3x

．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，訓練了待定系數法和換元法，是基礎題型．