Question

已知n次多項式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an．如果在一種算法中，計算

x

k 0

(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，計算P₃（x₀）的值至多需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P₁₀（x₀）的值至多需要

65

次運算．下面給出一種減少運算次數的算法：P₀（x）=a₀，P_k+1（x）=xP_k（x）+a_k+1（k=0，1，2，…，n-1）．利用該算法，計算P₃（x₀）的值至多需要6次運算，計算P₁₀（x₀）的值至多需要

20

次運算．

Answer 1

分析：根據常規運算的算法規則，和秦九韶算法的算法規則，我們不難得到結論．

解答：解：在利用常規算法計算多項式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值時，
算a₀xⁿ項需要n乘法，則在計算時共需要乘法：n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=

n(n+1)

2

次
需要加法：n次，則計算P_n（x₀）的值共需要

1

2

n（n+3）次運算．
故計算P₁₀（x₀）的值共需要65次運算．
在使用秦九韶算法計算多項式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值時，
共需要乘法：n次
需要加法：n次，則計算P_n（x₀）的值共需要2n次運算．
故計算P₁₀（x₀）的值至多需要20次運算．
故答案為：65；20

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．