Question

已知n次多項式P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n.

    如果在一種運算中,計算x₀^k(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,計算P₃(x₀)的值共需要9次運算(6次乘法,3次加法),那么計算P_n(x₀)的值共需___________次運算.

    下面給出一種減法運算:P₀(x)=a₀,P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0,1,2,…,n-1).利用該算法,計算P₃(x₀)的值共需6次運算,計算P_n(x₀)的值共需__________-次運算.

Answer 1

解析：∵P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n,a₀xⁿ需算n次乘法,a_kx^n-k需算n-k次乘法,

∴P_n(x₀)共需n+(n-1)+(n-2)+…+1+0=次乘法.

∵P_n(x₀)共有n+1項,∴共需(n+1)-1次加法.

∴P_n(x₀)共需計算+(n+1)-1=+n次.

∵P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1,設P_k(x)共需算P_k次,

∴x·P_k(x)共需算P_k+1次,

xP_k(x)+a_k+1共需算P_k+2次.

∴P_k+1=P_k+2.

∴{P_k}是首項為P₁,公差為2的等差數列,P₁=P₀+2=2.

∴P_n=2+(n-2)×2=2n.

答案：+   2n