Question

【題目】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過作，證明，再證明，可得，再由線面平行的判定可得平面；

（2）以為坐標原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.

（1）如圖，過作，則，且，

又，，四邊形為平行四邊形，則，

由，為中點，得為中點，而為中點，

，，則四邊形為平行四邊形，則，

，

平面，平面，

平面；

（2）以為坐標原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的一個法向量為，

由，取，得，

又平面MAA1的一個法向量為，

.

二面角的正弦值為.