Question

已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,與在第一和第四象限的交點分別為.
(1)若是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

Answer 1

（1）拋物線的方程為；（2）橢圓的離心率.

解析試題分析：（1）先根據拋物線及橢圓的幾何性質得到點關于軸對稱，進而由求得點的坐標，接著代入拋物線的方程可求得的值，從而可確定拋物線的方程；（2）先根據確定的橫坐標為，進而代入橢圓的方程可確定點的坐標，再將該點的坐標代入拋物線，從中可得關系式，另一方面，從而得到，即，只須求解關于的方程即可得到內的解.
試題解析：（1）設橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為
∵是邊長為的正三角形，∴點的坐標是
代入拋物線的方程解得，故所求拋物線的方程為
（2）∵，∴點的橫坐標是代入橢圓方程解得，即點的坐標是
∵點在拋物線上，∴即
將代入上式整理得：
即，解得
∵，故所求橢圓的離心率.
考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.拋物線的標準方程及其幾何性質.