Question

（本小題滿分15分）
已知橢圓： （）的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程； 
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點.
（i）求點的軌跡的方程；
（ii）若為點的軌跡的過點的兩條相互垂直的弦，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

解：
（1）∵，∴＝＝＝，∴.           （2分）
∵直線與圓相切，∴，，∴.
∴橢圓的方程是.                               （2分）
（2）（i）∵
∴動點到定直線的距離等于它到定點的距離，
∴動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線．
∴點的軌跡的方程為：.                                （4分）
（ii）由題意可知：直線的斜率存在且不為零，          （1分）
令：，
則：
由韋達定理知：
由拋物線定義知：
      （2分）
而：
同樣可得：                       （2分）
則：
（當且僅當時取“”號）
所以四邊形面積的最小值是：8                            （2分）

略