Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，在四邊形ADPQ中，PD∥QA.又QA⊥平面ABCD，QA＝AB＝PD.

(1)證明：PQ⊥平面DCQ；
(2)CP上是否存在一點R，使QR∥平面ABCD，若存在，請求出R的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在CP中點R

(1)證法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD,由四邊形ABCD為正方形知DC⊥AD，又QA、AD為平面PDAQ內兩條相交直線，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ，在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD,又CD、QD為平面ADCB內兩條相交直線，∴PQ⊥平面DCQ.

證法二：∵QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD,又CD、QD為平面ADCB內兩條相交直線，∴PQ⊥平面DCQ.
(2)存在CP中點R，使QR∥平面ABCD.證明如下：
取CD中點T，連結QR、RT、AT，則RT∥DP，且RT＝DP，又AQ∥DP，且AQ＝DP，從而AQ∥RT，且AQ＝RT，∴四邊形AQRT為平行四邊形，所以AT∥QR，∵QR平面ABCD，AT平面ABCD，∴QR∥平面ABCD.