Question

已知函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且滿足條件：
①f（a×b）=f（a）+f（b）；②f（2）=1； ③當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）為偶函數；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）求不等式f（3）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知可得：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），即可證明．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定義證明即可．
（3）由已知可得：f（2×2）=f（2）+f（2）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2=f（4），化為f（x（x-3）≤f（4），由于f（x）是偶函數，可得f（|x（x-3）|）≤f（4），再利用單調性即可得出．

解答： 解：（1）f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x）
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁），
∵當x＞0時，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又f（x）是偶函數，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2=f（4），
∴f（x（x-3）≤f（4），
∵f（x）是偶函數，
∴f（|x（x-3）|）≤f（4），
∴

x≠0 x-3≠0 |x(x-4)≤4

，
解得-1≤x≤4且x≠0，3．
∴解集為[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性、單調性，考查了構造法和適當取值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．