Question

已知橢圓的左，右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點．
（1）求曲線的方程；
（2）設、兩點的橫坐標分別為，，證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由橢圓的左右頂點分別為可得，，又由雙曲線是為頂點，故可設雙曲線的方程為，再由條件中雙曲線離心率為，可建立關于的方程，從而得到雙曲線的方程為；（2）根據題意可設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立求，，消去后可得：，解得或，因此，同理，將直線方程與雙曲線方程聯立，消去后可得
，從而得證．  .
試題解析：（1）依題意可得，，∴設雙曲線的方程為，
又∵雙曲線的離心率為，∴，即，∴雙曲線的方程為；
（2）設點，（，，），設直線的方程為，
聯立方程組，整理得：或，
∴， 同理可得，聯立方程組，∴．    .