Question

【題目】已知函數f(x)＝，若數列{an}(n∈N*)滿足：a1＝1，an＋1＝f(an)．

(1)證明數列{}為等差數列，并求數列{an}的通項公式．

(2)設數列{cn}滿足：cn＝，求數列{cn}的前n項的和Sn.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) Sn＝(n－1)2n＋1＋2.

【解析】試題分析：（1）先根據函數解析式得數列遞推關系，再取倒數得到{}遞推關系，根據等差數列定義可判斷為等差數列，根據等差數列通項公式求得，再取倒數得數列{an}的通項公式．（2）根據錯位相減法求數列{cn}的前n項的和，注意相減時符號變化，求和時項數得確定，最后不要忘記除以1-q

試題解析：(1)因為f(x)＝，所以an＋1＝f(an)＝，

所以－＝1，{}是等差數列，

an＝.

(2)cn＝n·2n，

所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，

2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，

所以2Sn－Sn＝Sn＝－2－22－23…－2n＋n·2n＋1

＝ (n－1)2n＋1＋2.

所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.