Question

【題目】如圖，菱形的邊長為，，與交于點．將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，．

（I）求證：平面⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用菱形的性質與勾股定理推出平面，從而利用面面垂直的判定求證即可；（Ⅱ）以為原點建立空間直角坐標系，然后求得相關點的坐標與向量，從而求得平面與的法向量，進而利用空間夾角公式求解即可．

（Ⅰ）證明：是菱形，

,

中，,

又是中點，

面面

又 平面

平面⊥平面

（Ⅱ）由題意， , 又由（Ⅰ）知 建立如圖所示空間直角坐標系，由條件易知

故 設平面的法向量，則

即 令，則

所以，

由條件易證平面，故取其法向量為

所以，

由圖知二面角為銳二面角，故其余弦值為