Question

已知函數和的圖像關于原點對稱，且．

（1）求函數的解析式；

（2）解不等式；

（3）若函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 解集為；(3) ．

【解析】

試題分析：(1)兩個函數的圖象關于某點或某條直線對稱，一般設待求解析式的函數圖象上任一點的坐標為，求出這點的對稱點的坐標，當然這里是用表示的式子，然后把點代入已知解析式，就能求出結論；(2)這是含有絕對值的不等式，解題時，一般按照絕對值的定義分類討論以去掉絕對值符號，便于解題；(3) ，這是含參數的二次函數，解題時，首先對二次項系數分類，即分二次項系數為0，不為0，其中不為0還要分為是正數，還是負數進行討論，在二次項系數不為0時，只要討論其對稱軸與給定區間的關系就能求得結論．

試題解析：（1）設是函數圖像上任一點，則關于原點對稱的點在函數的圖像上，           （1分）

所以，故．     （2分）

所以，函數的解析式是．     （1分）

（2）由，得，    （1分）

即．      （1分）

當時，有，△，不等式無解；   （1分）

當時，有，，解得．  （2分）

綜上，不等式的解集為．       （1分）

（3）．  （1分）

①當時，在區間上是增函數，符合題意．   （1分）

②當時，函數圖像的對稱軸是直線．    （1分）

因為在區間上是增函數，所以，

1）當時，，函數圖像開口向上，故，

解得；                 （1分）

2）當時，，函數圖像開口向下，故，解得． （1分）

綜上，的取值范圍是．      （1分）

考點：(1)函數圖象的對稱問題；(2)含絕對值的不等式；(3)函數的單調性．