Question

已知一個三角形的三邊長構成等比數列，其公比為x，則函數y=x²-

5

x的值域為（　　）

• A．（-

  5

  4

  ，+∞）
• B．[-

  5

  4

  ，+∞）
• C．（-

  5

  4

  ，-1）
• D．[-

  5

  4

  ，-1）

Answer 1

分析：由題意先設出三邊為a、xa、x²a、x＞0則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，分公比大于1與公式在小于1兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數y=x²-

5

x的定義域，再由二次函數的性質求出它的值域，選出正確選項．

解答：解：設三邊：a、xa、x²a、x＞0則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，即
（1）當x≥1時a+ax＞ax²，等價于解二次不等式：x²-x-1＜0，由于方程x²-x-1=0兩根為：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

且x≥1，
即1≤x＜

1+ 5

2

（2）當x＜1時，a為最大邊，xa+x²a＞a即得x²+x-1＞0，解之得x＞

5 -1

2

或x＜-

1+ 5

2

且x＞0
即x＞

5 -1

2

綜合（1）（2），得：x∈（

5 -1

2

，

1+ 5

2

）
又y=x²-

5

x的對稱軸是x=

5

2

，故函數在（

5 -1

2

，

5

2

）是減函數，在（

5

2

，

1+ 5

2

）是增函數
由于x=

5

2

時，y=-

5

4

；x=

5 -1

2

與x=

5 +1

2

時，y=-1
所以函數y=x²-

5

x的值域為[-

5

4

，-1）
觀察四個選項知應選D
故選D

點評：本題考查等比數列的性質及二次函數的值域的求法，解答本題關鍵是熟練掌握等比數列的性質，能利用它建立不等式解出公比x的取值范圍得出函數的定義域，熟練掌握二次函數的性質也很重要，由此類題可以看出，扎實的雙基，嫻熟的基礎知識與公式的記憶是解題的知識保障．