Question

（2012•黔東南州一模）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，O是其內切圓的圓心，則

OA

•

OB

=

-5

．

Answer 1

分析：根據題意，可得△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，內切圓半徑r=

1

2

（AC+BC-AB）=1．再以C為原點，CA、CB所在直線為x、y軸，建立如圖坐標系，算出向量

OA

、

OB

坐標，即可算出

OA

•

OB

的值．

解答：解：以C為原點，CA、CB所在直線為x、y軸，建立如圖坐標系
可得A（3，0），B（0，4），
∵△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=25=AB²，得AC⊥BC
由此可得△ABC內切圓的半徑為r=

1

2

（AC+BC-AB）=1
∴內切圓心O（1，1），
可得

OA

=（2，-1），

OB

=（-1，3）
∴

OA

•

OB

=2×（-1）+（-1）×3=-5
故答案為：-5

點評：本題給出直角三角形的三條邊的長度，求由內心指向兩個銳角頂點向量的數量積，著重考查了三角形內切圓的性質和向量數量積的運算等知識，屬于基礎題．