Question

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC₁上動點，F是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA₁ = 4.

（Ⅰ）當E是棱CC₁中點時，求證：CF∥平面AEB₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）詳見試題解析;（Ⅱ）在棱上存在點使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，且

試題分析：（Ⅰ）根據直線平行平面的判定定理，需要在平面AEB₁內找一條與CF平行的直線.根據題設，可取的中點，通過證明四邊形是平行四邊形來證明，從而使問題得證；（Ⅱ）由于兩兩垂直，故可以為坐標原點，射線為軸的正半軸建立空間坐標系，利用空間向量求解.
試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點，聯結
∵分別是棱、的中點，
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（Ⅱ）解：由于兩兩垂直，故可以為坐標原點，射線為軸的正半軸建立空間坐標系如圖所示
則
設 ，平面的法向量，
則
由
得,取得：
∵平面
∴是平面的法向量，則平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值為
∴
解之得
∴在棱上存在點使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，且.