Question

如圖所示：已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）設拋物線在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程；
（3）設過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）根據題意只要證明∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切
（2）
（3）。

試題分析：（1）解法一（幾何法）設線段AF中點為，過作垂直于x軸，垂足為,則
 ，     2分
又∵，       3分
∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分 
解法二（代數法）設,線段AF中點為，過作垂直于x軸，
垂足為，則，
∴．      2分
又∵點為線段AF的中點，∴，     3分
∴，
∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分

（2）設直線AB的方程為，，
由 ，
∴．     5分
由，
，      6分
，故的外接圓圓心為線段的中點。
設線段AB中點為點P，易證⊙P與拋物線的準線相切，切點為點M ，
．  7分
 8分
又，
 ．     9分
（3），設，10分
則 ，設，則
       11分
將代入可得： ． ①     12分
由，
聯立可得，②     13分
聯立①②可得 ，解得．
。      14分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。