Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0）．
（1）證明：當(dāng)x＞0時，f（x）在 上是減函數(shù) ，在上是增函數(shù)，并寫出當(dāng)x＜0時f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù) ，函數(shù)g（x）=﹣x﹣2b，若對任意x1∈[1，3]，總存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)x＞0時，

①設(shè)x1，x2是區(qū)間 上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，

則 = =（x1﹣x2） ，

∵x1，x2∈ ，且x1＜x2，

∴0＜x1x2＜a，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在 上是減函數(shù)，

②同理可證在f（x）在 上是增函數(shù)；

綜上所述得：當(dāng)x＞0時，f（x）在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．

∵函數(shù) 是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，

當(dāng)x＜0時，f（x）在 是減函數(shù)，在 是增函數(shù)

（2）解：∵ （x∈[1，3]），

由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上單調(diào)遞減，[2，3]上單調(diào)遞增，

∴h（x）min=h（2）=﹣4，h（x）max=maxh（3），h（1）=﹣3，

h（x）∈[﹣4，﹣3]，

又∵g（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，

∴由題意知，[﹣4，﹣3][﹣3﹣2b，﹣1﹣2b]，

于是有： ，解得 ．

故實數(shù)b的范圍是

【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明x＞0時的單調(diào)性，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求x＜0時f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意x1∈[1，3]，總存在x2∈[1，3]，使得g（x2）=h（x1）成立，等價于h（x）的值域為g（x）值域的子集，利用函數(shù)單調(diào)性易求兩函數(shù)值域；
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．