Question

（2013•順義區二模）已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，F₁，F₂為橢圓G的兩個焦點，點P在橢圓G上，且△PF₁F₂的周長為4+4

2

．
（Ⅰ）求橢圓G的方程
（Ⅱ）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若

OA

⊥

OB

（O為坐標原點），求證：直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得，

c

a

=

2

2

且2a+2c=4+4

2

，聯立方程組解出即得a，c，再由b²=a²-c²求得b值；
（Ⅱ）由題意可知，直線l不過坐標原點，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），分情況討論：（ⅰ）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，聯立直線方程與橢圓方程易求A，B坐標，由

OA

⊥

OB

得x₁x₂+y₁+y₂=0，可求m，從而易判斷直線與圓垂直；（ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及x₁x₂+y₁+y₂=0可得k，m的方程①，根據點到直線的距離公式可表示圓心O到l的距離d，結合①式可求得d值，其恰好等于半徑r；

解答：（Ⅰ）解：由已知得，

c

a

=

2

2

且2a+2c=4+4

2

，
解得a=2

2

，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）證明：由題意可知，直線l不過坐標原點，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（ⅰ）當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，
則x₁=m，y1=

4- m2 2

，x₂=m，y2=-

4- m2 2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴m2-(4-

m2

2

)=0，解得m=±

2 6

3

，
故直線l的方程為x=±

2 6

3

，
因此，點O（0，0）到直線l的距離為d=

2 6

3

，
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），半徑r=

2 6

3

=d，
所以直線l與圓x2+y2=

8

3

相切；
（ⅱ）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圓x2+y2=

8

3

的圓心為O（0，0），半徑r=

2 6

3

，
圓心O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

，
∴d2=(

|m|

1+k2

)2=

m2

1+k2

=

3m2

3(1+k2)

②，
將①式帶入②式得
d2=

8k2+8

3(1+k2)

=

8

3

，
所以d=

2 6

3

=r，
因此，直線l與圓x2+y2=

8

3

相切．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學生對問題的閱讀理解能力及轉化能力，弦長公式、點到直線距離公式、韋達定理是解決問題的基礎知識，要熟練掌握．