Question

【題目】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環數大于6環，且甲射中10，9，8，7環的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 甲比乙的射擊技術好.

【解析】

（1）由題意利用題中的條件已知甲、乙兩名射手每次射擊中的環數大于環，且甲射中環的概率分別為，可以得到，解出的值，再有隨機變量的意義得到相應的分布列；（2）由于（1）中求得了隨機變量的分布列，利用期望與方差公式求出期望與方差可得甲射擊的環數的均值比乙高，且成績比較穩定，所以甲比乙的射擊技術好.

(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因為乙射中10，9，8環的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

所以ξ，η的分布列分別為：

ξ	10	9	8	7
P	0.5	0.3	0.1	0.1
η	10	9	8	7
P	0.3	0.3	0.2	0.2

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；

D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.

由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，說明甲射擊的環數的均值比乙高，且成績比較穩定，所以甲比乙的射擊技術好.