【題目】設函數
.
（1）當
時，求函數
的最大值；
（2）令
，其圖象上存在一點
，使此處切線的斜率
，求實數
的取值范圍；
（3）當
， 
時，方程
有唯一實數解，求正數
的值.
【答案】(1) 
(2) 
（3）
【解析】試題分析：（1）依題意確定
的定義域，對
求導，求出函數的單調性，即可求出函數
的最大值；（2）表示出
，根據其圖象上存在一點
，使此處切線的斜率
可得
，在
上有解，即可求出實數
的取值范圍;（3）由
，方程
有唯一實數解，構造函數
，求出
的單調性，即可求出正數
的值.
試題解析：（1）依題意， 
的定義域為
，當
時， 
， 
由
，得
,解得
由
,得
，解得
或
∵
，∴
在
單調遞増，在
單調遞減；所以
的極大值為
，此即為最大值
（2）
，則有
，在
上有解，
∴
， 
，∵
，所以當
時， 
取得最小值
，∴
（3）由
得
，令
， 
令
， 
，∴
在
上單調遞增，而
，
∴在
，即
，在
，即
，
∴
在
單調遞減，在
單調遞増，∴
極小值
，令
，即
時方程
有唯一實數解.
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布，發現其投資者年齡大多集中在區間[20,50]歲之間，對區間[20,50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習慣調查，得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
組數 | 分組 | 人數(單位：人) |
第一組 | [20,25) | 2 |
第二組 | [25,30) | a |
第三組 | [30,35) | 5 |
第四組 | [35,40) | 4 |
第五組 | [40,45) | 3 |
第六組 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖；
(Ⅱ)在統計表的第五與第六組的5人中，隨機選取2人，求這2人的年齡都小于45歲的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某海輪以每小時30海里的速度航行，在點
測得海面上油井
在南偏東
，海輪向北航行40分鐘后到達點
，測得油井在南偏東
，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達點
，則
兩點的距離為(單位：海里)
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，經研究發現鮭魚的游速可以表示為函數y=
log3（
），單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數．
（1）當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？
（2）計算一條魚靜止時耗氧量的單位數。
（3）某條鮭魚想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的單位數是原來的多少倍？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
(1)求證：f(x)在R上是增函數；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位建造一間地面面積為12
的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度
不得超過
米，房屋正面的造價為400元/
，房屋側面的造價為150元/
，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3
，且不計房屋背面的費用.
（1）把房屋總價
表示成
的函數，并寫出該函數的定義域；
（2）當側面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于在區間
上有意義的函數
，滿足對任意的
，
，有
恒成立，厄稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的，現有函數
.
（1）若函數在區間
（
）上是“友好”的，求實數
的取值范圍；
（2）若關于
的方程
的解集中有且只有一個元素，求實數的取值范圍.
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